Jour 10
Les mathématiques généralisent la construction d'Archimède du point d'équilibre de deux points affectés de deux masses positives progressivement à des ensembles plus complexes. Les coefficients peuvent être négatifs : Le barycentre des points A et B affectés des masses a et b (a + b non nul) est l'unique point G tel que
Les coordonnées de G sont alors
Le nombre de points peut passer à trois points, quatre points et se généraliser à n points. Si la somme des masses ai est non nulle, le barycentre du système e
st le point G tel que
Les coordonnées sont données par les formules, pour j variant de 1 à la dimension de l'espace
C'est sous cette forme qu'il devient un outil puissant en géométrie affine.
Le nombre de points peut même devenir infini, permettant de trouver le barycentre d'une courbe ou d'une surface.
Si l'ensemble constitue un domaine D continu, à chaque point M du domaine on affecte une densité g(M) où g est une fonction continue (un champ scalaire). Le barycentre est alors le point G tel que
Dans l'espace
Dans le plan .
Si les points M ont pour coordonnées (x1;x2,x3) la fonction de densité s'écrit g(x1,x2,x3) et les coordonnées de G s'écrivent
Si l'on se ramène à une dimension, ou bien si l'on considère chaque coordonnée séparément, on retrouve la formule de la moyenne pondérée :
Vous avez rien compris ? C’est normal.